Нахождение кратчайших путей в ориентированном графе.

Алгоритм Дейкстры нахождения кратчайшего пути Рассмотрим алгоритм нахождения путей в ориентированном графе. Пусть есть ориентированный граф , у которого все дуги имеют неотрицательные метки (веса дуг), а одна вершина определена как источник. Задача состоит в нахождении весов кратчайших путей от источника ко всем другим вершинам граф . Здесь длина пути определяется как сумма весов дуг, составляющих путь. Эта…

Сложность задачи проверки существования гамильтонова цикла.

Название «гамильтонов цикл» произошло от задачи «Кругосветное путешествие» предложенной ирландским математиком Вильямом Гамильтоном в 1859 году. Нужно было, выйдя из исходной вершины графа, обойти все его вершины и вернуться в исходную точку. Граф представлял собой укладку додекаэдра, каждой из 20 вершин графа было приписано название крупного города мира. Если граф имеет простой цикл, содержащий все…

Гамильтоновы пути и циклы

Гамильтонов граф Граф додекаэдра с выделенным циклом Гамильтона Гамильтонов путь (чёрным) Гамильтонов граф — в теории графов это граф, содержащий гамильтонову цепь или гамильтонов цикл. Гамильтонов путь (или гамильтонова цепь) —путь (цепь), содержащий каждую вершину графа ровно один раз. Гамильтонов путь, начальная и конечная вершины которого совпадают, называетсягамильтоновым циклом. Гамильтонов цикл является простым остовным циклом (см. Словарь терминов теории графов). Гамильтоновы путь, цикл и граф названы в честьирландского математика У.…

Алгоритм построения эйлеровых циклов

Построение эйлерова цикла Напомним, что эйлеровым циклом называется замкнутый маршрут, в котором каждое ребро графа встречается точно один раз. Согласно теореме 5 из лекции 2, для существования такого маршрута в связном графе необходимо и достаточно, чтобы степени всех вершин были четными. Теперь рассмотрим алгоритм, который находит эйлеров цикл в заданном графе при условии, что условия связности…

Эйлеровы пути и циклы

  Граф Кёнигсбергских мостов. Этот граф не является эйлеровым, поэтому решения не существует. Каждая вершина этого графа имеет чётную степень, поэтому этот граф — эйлеров. Обход рёбер в алфавитном порядке даёт эйлеров цикл. Эйлеров путь (эйлерова цепь) в графе — это путь, проходящий по всем рёбрам графа и притом только по одному разу. (ср.Гамильтонов путь) Эйлеров цикл — это эйлеров путь, являющийся…

Изображение дерева

Имеется ряд способов графического изображения деревьев. Первый способ заключается в использовании для изображения поддеревьев известного метода диаграмм Венна, второй — метода вкладывающихся друг в друга скобок, третий способ — это способ, применяемый при составлении оглавлений книг. Последний способ, базирующийся на формате с нумерацией уровней, сходен с методами, используемыми в языках программирования. При применении этого формата…

Связанность любых двух вершин дерева единственным простым путем.

Деревом называется связный граф без контуров (а значит, и без циклов). Граф (несвязный), состоящий из нескольких деревьев иногда называютлесом. Напомним, что вершина в графе называется висячей, если ее степень равна единице. Дерево должно обязательно иметь висячую вершину, так как если бы степень всех вершин в дереве была бы больше или равна 2, то по самой первой лемме граф должен иметь…